Rozwiązywanie zagadnienia początkowego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, przypomnijmy sobie, że rozwiazanie ogólne równania

\( P(x,\,y,\,z)\,z_x+Q(x,\,y,\,z)\,z_y=R(x,\,y,\,z) \)

opisuje rodzinę powierzchni wektorowych pola \( \vec F=\left(P,\,Q,\,R \right) \) (zob. moduł Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe ) lub, innymi słowy, rodzinę powierzchni gładkich, do których pole \( \vec F \) jest styczne w każdym punkcie. Powierzchnie te są utkane z krzywych całkowych stowarzyszonego z równaniem układu dynamicznego

(2)

\( \frac{d\,x}{d\,t}=P(x,\,y,\,z), \qquad \frac{d\,y}{d\,t}=Q(x,\,y,\,z), \qquad \frac{d\,z}{d\,t}=R(x,\,y,\,z). \)

Konkretna powierzchnia będzie zadana w sposób jednoznaczny, jeżeli wskazana będzie gładka krzywa przestrzenna, w całości należąca do tej powierzchni. Ponieważ krzywa w \( R^3 \) jest miejscem geometrycznym przecięcia się pary powierzchni, można ją zadać podając parę równań

(3)

\( \Phi_1(x,\,y,\,z)=0, \qquad \Phi_2(x,\,y,\,z)=0, \)

opisujących te krzywą. Procedura znalezienia powierzchni całkowej pola \( \vec F \), przechodzacej przez krzywą zadaną układem ( 3 ), polega na wspólnym rozwiązaniu układu

(4)

\( \Phi_1(x,\,y,\,z)=0, \qquad \Phi_2(x,\,y,\,z)=0, \)

(5)

\( \psi^1(x,\,y,\,z)=C_2, \qquad \psi^2(x,\,y,\,z)=C_2, \)

Drugą parę równań tego układu stanowią równania niezależnych charakterystyk, spełniających układ

\( \frac{d\,x}{P}=\frac{d\,y}{Q}=\frac{d\,z}{R}. \)

Techniczne znalezienie powierzchni, przechodzącej przez linię zadaną równaniami, polega na wykluczeniu współrzędnych \( (x,\,y,\,z) \) z układu ( 4 ),( 5 ). Daje to w efekcie funkcję, wiążącą stałe \( C_1 \) i \( C_2 \).

Zadanie 1:

Treść zadania:

Znaleźć powierzchnię całkową równania

\( x\,z_x+2\,y\,z_y=0, \)

przechodzącą przez linię

\( y=1, \qquad z={x^2}. \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Znaleźć powierzchnię całkową równania

\( x\,z_y-y\,z_x=1, \)

przechodzącą przez linię

\( z=1, \qquad {x^2+y^2}=4. \)

Rozwiązanie:

1. Zapisujemy równania charakterystyk

\( \frac{d\,x}{-y}=\frac{d\,y}{x}=\frac{d\,z}{1}. \)

Przyrównując do siebie pierwsze i drugie wyrażenie, rozdzielając zmienne, a następnie całkując, otrzymujemy charakterystykę

\( \psi^1:\,\,x^2+y^2=C_1. \)

Rozpatrzmy teraz równanie

\( \frac{d\,y}{x}=\frac{d\,z}{1}. \)

W takiej postaci nie jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Możemy jednak przedstawić znalezioną całkę pierwszą w postaci

\( y=\sqrt{C_1-x^2}, \)

i potraktować zmienną \( x, \) jako funkcję \( y \). W ten sposób uzyskujemy następujące równanie o zmiennych rozdzielonych:

\( \frac{d\,y}{\sqrt{C_1}\,\sqrt{1-\left[\frac{y}{\sqrt{C_1}}\right]^2}}={d\,z}. \)

Dokonując zamiany zmiennej \( \tau = y/\sqrt{C_1} \), a następnie całkując, uzyskamy drugą charakterystykę:

\( \psi^2:\,\,z-\arcsin{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}=C_2. \)

2. Zapisując układ czterech równań

\( \begin{eqnarray}x^2+y^2=C_1, \qquad z-\arcsin{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}=C_2, \\z=1, \qquad {x^2+y^2}=4\end{eqnarray} \)

widzimy, że czwarte równanie pokrywa się z pierwszym, przy \( C_1=4 \), zatem z układu tego nie da się wyeliminować zmiennych \( x,\,y,\,z \).

3. Na końcu chcielibysmy się przekonać, czy funkcja

\( z=\arcsin{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}+\Phi(x^2+y^2) \)

spełnia równanie wyjściowe. Rozdzielimy to zadanie na dwa. Najpierw pokażemy, że funkcja \( \Phi(x^2+y^2) \) spełnia równanie jednorodne:

\( \left( x\,\partial_y-y\,\partial_x \right)\,\Phi(x^2+y^2)=\Phi'(x^2+y^2) \left[x\,\cdot 2\,y-y\,\cdot 2\,x \right]=0. \)

Dalej, działając operatorem stojącym po lewej stronie na pierwszą funkcję, otrzymamy:

\( \begin{eqnarray}\left( x\,\partial_y-y\,\partial_x \right)\,\arcsin{\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}=x\,\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \frac{x^2+y^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)\sqrt{x^2+y^2}}-\\-y\,\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \frac{-x\,y}{\left(x^2+y^2\right)\sqrt{x^2+y^2}}=1, \end{eqnarray} \)

zatem równanie wyjściowe jest spelnione.

Uwaga 1:

Powyższy przykład pokazuje w jaki sposób można źle postawić warunki brzegowe. W dobrze postawionym zagadnieniu brzegowym żadna z funkcji układu ( 3 ) nie może się pokrywać z charakterystyką.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego równania quasiliniowego o dwóch zmiennych niezależnych

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Uwaga 1: